6.1 하노이 타워 [디딤돌 자료구조와 알고리즘 with C++]

6.1 하노이 타워

하노이 타워는 대표적인 재귀 알고리즘입니다.

 

하노이 타워 알고리즘은 n 개의 돌을 이동시키는 문제입니다. 세 개의 기둥이 있고 하나의 기둥에 n 개의 돌이 크기 순으로 있습니다. 한 번에 하나의 돌을 이동할 수 있고 작은 돌 위에 큰 돌이 올 수 없습니다. 이와 같은 규칙을 이용하여 n 개의 돌이 있는 기둥에서 다른 기둥으로 모든 돌을 옮기는 문제입니다.

 

 

 

이 문제를 재귀적으로 해결하면 다음처럼 해결할 수 있습니다.

 

가정: n-1개의 돌을 옮길 수 있다.

가정에 의해 먼저 A에 있는 n-1개의 돌을 C를 이용하여 B로 옮깁니다.

규칙에 의해 1개의 돌을 A에서 C로 옮깁니다.

가정에 의해 B에 있는 n-1개의 돌을 A를 이용하여 C로 옮깁니다.

따라서 n개의 돌을 옮길 수 있습니다.

 

의사코드(pseudo code)로 나타내면 다음처럼 표현할 수 있습니다. 탈출 조건을 표현하고 있음을 확인하세요.

Hanoi(src, use, dest, n)

    조건 n<=0

        종료

    Hanoi(src,dest,use,n-1)

    Move(src,dest)

    Hanoi(use,src,dest,n-1)

 

재귀 호출하면 이전보다 n을 1 감소하므로 탈출 조건에 근접함을 알 수 있습니다.

 

 

하노이 타워 알고리즘을 구현합시다.

#include <iostream>

#include <string>

using namespace std;

알고리즘은 입력 인자로 세 개의 기둥과 돌의 개수를 받아야 합니다.

void Hanoi(string src, string use, string dest, int n)

{

돌이 없을 때는 아무것도 수해하지 않고 알고리즘을 끝냅니다. 즉 탈출 조건입니다.

    if(n<=0) //돌이 없을 때

    {

        return;

    }

n-1개의 돌을 src에서 dest를 이용하여 use로 옮깁니다.

    Hanoi(src,dest,use,n-1); //n-1 개의 돌을 src에서 dest를 이용하여 use로 이동

src에 있는 돌을 dest로 옮깁니다.

    cout<<"move "<<src<<" -> "<<dest<<endl; //scr에서 dest로 이동

use에 있는 n-1개의 돌을 src를 이용하여 dest로 옮깁니다.

    Hanoi(use,src,dest,n-1); //n-1개의 돌을 use에서 src를 이용하여 dest로 이둉

}

int main()

{

    Hanoi("a","b","c",3);

    return 0;

}

 

▷ 실행 결과

move a -> c

move a -> b

move c -> b

move a -> c

move b -> a

move b -> c

move a -> c

 

 

6.1.1 하노이 타워 성능 분석

하노이 타워 알고리즘 성능을 분석해 보기로 해요. n개 돌을 옮기는 데 걸리는 시간을 T(n)이라고 합시다.

 

하노이 타워 알고리즘의 수행 시간 T(n)은 T(n-1) 2번과 Move 1번으로 진행합니다.

T(n) = 2*T(n-1) + 1 = 2 *T(n-2) + 2 +1 = 2^2*T(n-3) +4+2+1 = ... = 2^n -1

 

따라서 하노이 타워 알고리즘 수행 시간은 O(2^n)이라고 말할 수 있습니다.

 

다음은 속도를 측정하기 위해 수정한 코드입니다.

#include <iostream>

#include <string>

#include <time.h>

using namespace std;

void Hanoi(string src, string use, string dest, int n)

{

    if(n<=0) //돌이 없을 때

    {

        return;

    }

    Hanoi(src,dest,use,n-1); //n-1 개의 돌을 src에서 dest를 이용하여 use로 이동

    cout<<"move "<<src<<" -> "<<dest<<endl; //scr에서 dest로 이동

    Hanoi(use,src,dest,n-1); //n-1개의 돌을 use에서 src를 이용하여 dest로 이둉

}

int main()

{

    clock_t st,et;

알고리즘을 수행 전 시간을 측정하세요.

    st = clock();

    Hanoi("a","b","c",5);

알고리즘을 수행 후 시간을 측정한 후에 수행 전과의 차이를 계산하세요.

    et = clock();

    cout<<"5 개일 때 걸린 시간:"<<et-st<<endl;

똑같은 방법으로 수행 시간을 측정하세요. 이번에는 8개의 돌을 옮기게 할게요.

    st = clock();

    Hanoi("a","b","c",8);

    et = clock();

    cout<<"8 개일 때 걸린 시간:"<<et-st<<endl;

    return 0;

}

▷ 실행 결과

move a -> c

...중략...

move a -> c

5 개일 때 걸린 시간:44

move a -> b

...중략...

move b -> c

8 개일 때 걸린 시간:364

 

결과를 보면 돌의 개수가 3개 늘었을 때 걸린 시간은 8배 이상 차이가 나는 것을 확인할 수 있습니다.